consistent -> trivial Solutions -> 해: 0벡터 1개만 존재 inconsistent -> nontrivial Solutions -> 해: 0벡터가 아닌 해 1개 or 무한히 많은 해 존재위처럼 분류한 것이 맞나요?

-w + cu + dv = 0식에서 상수 c와 d는 0이어도 w는 -1 계수를 가지므로 non-trivial solutions 를 가진다는 것이 이해가 되지 않습니다.위 방정식을 일부 가공한 "-w = 0" 에서 w가 가질 수 있는 해의 예시가 어떻게 될까요? 혹은 실제 행렬을 사례로 설명해주실 수 있으실까요? w가 벡터인것인가요? 여러개념들이 충돌해서 헷갈리네요..

span{u,v}에서 u는 ㅣ v는 ㅡ 로 가는데 어떻게 합쳐져서 저런평면 형태가 나오는 거죠??

질문드릴 부분은 6.4강의 1시 1분 부분입니다. Ur이 Col A의 basis이니, transpose(Ur) b 만 계산해도, b 벡터를 Col A에 대해 Projection 한다고 생각합니다.그래서 transpose(Ur)b 가 hat(b)가 되어야 할 것 같은데,Ur transpose(Ur)b가 hat(b)가 되는 이유가 있을까요? 또, Ur transpose(Ur)b와 transpose(Ur)b 사이 의미상 차이를 알려주실 수 있을까요?(orthgonal projection of b onto Col A 같이 수식이 제공하는 의미를 말씀해주셨으면 해요.) 강의가 큰 도움이 되고 있습니다. 감사합니다.

안녕하세요 선생님, 질문들이 조금 많아 정리해서 여쭙고 싶습니다. One to One은 수학에서의 '일대일 함수'와 같은 개념으로 이해했슨데,ONTO의 경우 수학에서의 '일대일 대응'과는 다른 의미인가요? One to One은 서로 다른 x에 대해 무조건 서로 다른 image가 대응되어야 한다고 알고 있습니다.다만 ONTO는 단지 codomain과 range가 (공역 = 치역) 같아야 한다고 알고 있는데,혹시 ONTO도 '일대일대응'과 같이 '공역 = 치역' 이라는 조건과 동시에 '일대일 함수'의 조건 또한 만족해야 하나요? 아니면 단지 공역 = 치역 이기만 하면 되는건가요? ONTO와 One to One을 구별하는 방법 중에 ONTO의 경우 각 Row 마다 pivot이 존재해야 하므로: 행 개수 < 열 개수인 가로로 긴 행렬One to One의 경우 각 Column마다 pivot이 존재해야 하므로: 행 개수 > 열 개수인 세로로 긴 행렬 라는 것을 교재에 수록된 문제 솔루션에서 봤습니다. 이렇게 이해해도 되는건가요? 만약 된다면, Row마다 pivot / Column마다 pivot이 존재해야 한다는 뜻을 정확히 모르겠습니다. 이를 어떻게 다른 조건과 동치로 해석해야 하나요?그리고 맞을 경우에, 행 개수 = 열 개수인 정사각행렬은 ONTO인지 One to One인지 어떻게 판단하나요? ONTO를 판단하는데 있어서, Columns of A가 R^{m} space를 span하는 것이 필충조건이라고 배웠습니다. 그런데 Theroem 4 - (d)에서 A가 각 Row 마다 pivot position이 존재하는 것과 동치라고 알고있습니다.  이는 [0 0 0 ... 0 b]와 같은 행이 존재하지 않는다는 의미인데요, T와 같은 standard matrix의 경우 coefficient matrix이기 때문에 [0 0 0 ... 0 b] 가 아니라 [0 0 0 ... 0 ]의 형태로 b가 빠지는 것으로 알고 있습니다.그렇기 때문에 저는 이를 영행 으로 판단하고 ONTO의 필요충분 조건은 '영행이 없기만 하면 된다'라고 판단했는데 혹 이렇게 판별해도 문제가 있을까요? 선생님, 강의가 공부하는데 정말 큰 힘이 되고 있습니다. 긴 질문글 다 읽어주셔서 정말 감사합니다! 날씨도 더운데 고생 많으십니다 ㅜㅜ 

1.4강의에서 Theorem 4 3번째 내용에서 the columns of A span Rm 이라고 적혀있습니다.현재 강의 1.5강의에서 9분 9초를 보면 10x1-3x2-2x3 = 0이라는 linear system은 span{u,v}를 해로 가집니다. 제가 span이라는 개념이 잘 이해가 안되서 인터넷으로 더 찾아봤는데 제가 이해한 방식 맞는지 헷갈려서 질문드립니다.1.4 강의 부분은 the columns of a에 x를 곱했을때 b가 Rm이라서 span Rm이라고 한다고 이해하면 될까요?그리고 1.5 강의부분은 해가 u와 v의 linear combination 형식이라서 span {u, v}라고 표현할 수 있다고 생각하면 될까요?그리고 추가로 제가 the columns of A라는 표현이 어려워서 인터넷으로 더 공부하다가 이런 표현을 봤는데 올바른 표현인가요? " If any b in Rn can be expressed as a linear combination of the columns of A, then we say that the columns of A span Rn"질문 너무 많이 드려서 죄송해요. 제가 행렬은 처음이라 모르는게 많습니다.

현재 대학교에서 선형대수학개론 배우고 있습니다. 대학교에서 배울 때는 echelon form과 reduced echelon form 대신 row echelon form과 reduced row echelon form을 배웠습니다. row echelon form은 이 수업에서 배운 echelon form 조건에서 leading entry가 1이라는 조건이 추가로 붙습니다. 그리고 reduced echelon form은 echelon form이랑 조건이 같은 거 같아요.그래서 제 질문은 row echelon form은 echelon form에서 조금 더 엄격한 버전이라고 생각하면 될까요?입니다.

18:10에 row equivalent가 same solution set을 가진다고 했는데 그럼 equivalent라고도 표현할 수 있나요? row equivalent가 equivalent에 포함되는 관계인가요?

안녕하세요,여기서 eigenvalue를 구한 다음에 A*(1, -i) 형태로 이어지는 부분이 이해되지 않습니다. 어떤 방식으로 eigenvector를 구한 것인지 설명 부탁드립니다!

안녕하세요,example3 관련 질문 드립니다. cofactor 전개 과정에서 matrix에 scailing을 할 수 있는건가요?풀이하시면서 3*3 matrix의 세 번째 행 ( 0 -2 0 )으로 cofactor 전개하실 때 -2니까 -를 곱해준다고 하셨는데, 이렇게 임의로 어떤 수를 곱할 수 있는지 질문드립니다.

안녕하세요 강의를 수강하고 있는 학생입니다. 21:09에서 eigenvalue들이 다를 경우에 각 basis의 역할을 하는 eigenvector들은 linearly independent하다고 설명하셨습니다.  eigenvalue들이 다를 경우라는 것이 무슨 말인지 잘 이해가 되지 않습니다. 어떠한 eigenvalue로부터 구한 eigenspace에 포함되는 eigenvector들은 모두 linearly independent 되어야 하는 것으로 알고 있었는데 살짝 혼란이 있습니다. 예를 들어 example 2의 경우 [1,-1,1], [-1,1,0], [-1,0,1] 총 3개의 eigen vector 모두가 linearly independent해야 diagnolization 가능하다고 생각했는데 혹시 잘못 이해하고 있는 부분이 있다면 알려주시면 감사하겠습니다. 감사합니다.

안녕하세요, 강의를 수강하고 있는 학생입니다. Theorem 2 증명과정 중에서v_1, ... v_r이 만약 linearly dependent하다면, chapter 1의 7번 정리에 의해 c_1v_1+c_2v_2+...+c_{p-1}v_{p-1}=v_p 식을 작성할 수 있고 (단, v_1~ v_{p-1}은 선형독립)그 다음 matrix A multiplication으로 (lambda를 L로 작성하겠습니다.)c_1L_1v_1+c_2L_2v_2+...+c_{p-1}L{p-1}v_{p-1}=L_pv_p식이 나온다고 하셨는데 그 계산 과정이 잘 이해가 되지 않습니다. 상세히 설명해주시면 정말 감사하겠습니다.  감사합니다.

안녕하세요, 강의를 수강하고 있는 학생입니다. 슬라이드 10 설명하시면서 18분 30초쯤에사람마다 echelon form을 만드는 방법은 다르지만 (scaling 등에 의해) pivot들의 곱은 같다고 말씀하셨는데 그 부분이 잘 이해가 가지 않습니다. 제가 생각하기에는 pivot들의 곱이 같은 것이 아니라 이전 determinant와 elementary row operation과의 관계에서 봤다시피 어떻게 echelon form을 만들더라도 결국 determinant는 같게 나온다와 관련이 있는 것 같습니다. 3.2의 example 1에서도 볼 수 있는 것처럼 마지막 echelon form에서 3번째 row를 0,0,-6,2로 한 것을 0,0,-3,2로 하더라도 3.2에 나온 Theorem 3의 c에 의해 2가 앞으로 나오니 결국 determinant가 같은 원리라고 생각했습니다. 제가 앞부분에서 뭘 놓쳤는지 궁금해서 질문드립니다. 감사합니다.

example1의 풀이에서detA = (-1 or 1)* product of pivots in U when A is invertible 이라고 되어 있는데요.(-1 or 1) 에 대해 추가로 설명이 없는 것 같아서 질문드립니다. 경우에 따라 -1이나 1을 곱해줘야 하는 건가요? 또한 그 경우라는게 정해져 있는 것인지 궁금합니다! 감사합니다.

안녕하세요, 3.2 강의 수강 중 이해가 어려운 부분이 있어 질문드립니다.3p 에서 unaffected row i 에 대해 설명하시면서 row operation에 영향을 받지 않는 row가 반드시 있다고 하셨는데 이 부분이 이해되지 않습니다.예를 들어 3*3 matrix에서 모든 row에 scaling을 진행할 수도 있는 것 아닌가요?

안녕하세요, 강의를 듣고 있는 학생입니다. Example 4의 풀이 흐름을 다음과 같이 생각하는 것이 맞는지 궁금합니다. row replacement를 통해 echelon form으로 만드는 과정 중 모든 열이 다 0인 row가 생긴다는 것을 알았음.invertible한 n by n 행렬의 경우, 총 n개의 pivot이 존재해야 하지만, 그렇지 못하기에 역행렬이 존재하지 않는다. 역행렬이 존재하지 않으면 determinant의 값은 0이다. 따라서 det A = 0 이다. 감사합니다.

L를 구할 때, 이전에 U를 구하는 과정에서 2row <-> 3row interchange를 반영해 두 행을 바꾸어주었는데요, 마찬가지로 U를 구하는 과정에서 1row <-> 4row interchange는 왜 반영하지 않는지 궁금합니다. 제가 규칙을 잘 이해하지 못한 것 같아서요!

안녕하세요, 수업을 듣고 있는 학생입니다. 제가 이해하고 있는 것이 맞는지 확인하기 위해 질문을 올립니다.  2.7의 슬라이드 10을 보면, R^n space의 subspace인 H가 p차원이라고 되어 있습니다. 그럼 만약 m by k인 matrix A가 있을 때, m은 A를 구성하는 각 벡터들의 차원입니다.그리고 k는 경우에 따라 다르다고 생각합니다. (H span과 관련하여)1) k < p : 절대 H를 span할 수 없습니다. 2-1) k=p 이며 k개의 벡터가 linearly independent: H를 span하며, 각 벡터는 기저입니다. 이 경우에는 k를 span하고자 하는 공간의 차원으로 볼 수 있으며 dim(A) = rank A = p입니다.2-2) k=p 이며 k개의 벡터 중 linearly dependent한 벡터 단 한 쌍이라도 존재: H를 span하지 못합니다. 3) k>p인 경우 k개 중 linearly independent한 벡터 즉, pivot들이 p개라면 H를 span할 수 있습니다. + 슬라이드 10의 p<=n이어야 합니다.라고 알고 있습니다. 혹시 위에서 잘못 이해하고 있는 부분이 있어 알려주시면 정말 감사하겠습니다. 질문 읽어주셔서 감사합니다.   

2.5를 학습하던 중 질문이 생겼습니다!A = LU 에서 U를 구하기 위해 row replacement 만 진행한다면, 이로부터 도출되는 U는 unique한가요?제가 계산했을 때는 학습자료의 U 내 entry들과 + - 부호가 다른 entry들이 있어서 질문합니다. 제가 row replacement의 규칙을 잘못 알고 있는 것 같기도 합니다. row replacement를 위해 다른 row에 특정 수를 곱하고 나눈 후, 대상 row를 기준으로 더하거나 빼주어야 하나요? 저는 특정 수를 곱하거나 나눈 다른 row를 기준으로 더하고 빼기도 하였습니다.예를 들어 1행과 3행에 대해 row replacement를 진행한다고 할 때, 3행에 맞추어 1행에 2를 곱하였다면, 1행이 아닌 3행을 기준으로 더하고 빼주어야만 하는지 궁금합니다.

안녕하세요, 강의를 듣고 있는 학생입니다. 슬라이드 9쪽에서 One-to-one의 정의로"at most one" 즉, T(x)=b의 식의 해가 unique하든지, 없든지라고 되어있는데, 없는 경우가 이해가 잘 되지 않습니다. T가 transformation function이기에, 함수이니 결국 정의역 하나는 무조건 매칭이 되어야한다고 생각을 했는데 없는 경우가 어떤 경우인지 궁금합니다. 질문 읽어주셔서 감사드리고 좋은 강의 감사합니다.