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선형대수학개론

1.6 Linear Independence

해결된 질문

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236

후자를 만족하면 전자가 참이된다는게

이렇게 돼서 c1과 c2는 0이고 c3는 논제로여서 w벡터를 옮겨서 w가 {u,v}에 의해 스팬된 공간에 있다는 건가요?

선형대수학

답변 2

이 동호

질문자

아 이해됐습니다 감사합니다!

이 동호

질문자

{u,v,w}에서 v는 u의 멀티플로 표현할 수 없는 게

v = cu + dw로 표현될 수 없다는 걸로 이어지는지 모르겠어요 u 벡터와 v벡터 두 개만 있을 때 independent해서 서로의 상수곱으로 표현이 안되지 w벡터까지 추가했을 때에는 v는 u의 상수곱에다 w벡터를 더한 게 되니까 v = cu + dw로는 표현되지 않나요?

조범희 (타블렛깎는노인)

지식공유자

기존 답변은 정리7을 알고 있어야한다는 전제가 필요하여 삭제하였습니다.

W가 zero vector 인경우가 있기때문에 마지막 문장은 장담할수없습니다.

하지만 w = c1 u + c2 v 인건 항상 만족합니다.

정리 7을 다시 생각해보아서 u v w 순으로 정렬해봅시다 (u가 nonzero라 가정)

정리7에 의해서 반드시 v가 u의 multiple이거나 w가 u와 v의 linear combination이여야합니다.

하지만 v는 u의 mtiple관계가 아니기 때문에 후자일수밖에 없습니다.

정리7을 다시 풀어서 생각하고자 한다면

우선 dependent 하기에 c1 u + c2 v + c3 w = 0 을 만족하는 nonzero coefficient 가 존재합니다.

u와 v가 zero vector일수 없고, c1 u + c2 v 는 nonzero vector 이기때문에 c3 는 반드시 nonzero여야합니다.

즉, w = (-c1/c3) u + (-c2/c3) v 형태로 표현될수있고 이는 span u v 입니다.

허나 v 가 span w u인 것을 장담할수없는건은 w가 zero vector 인경우를 생각해보시면 됩니다. 그 경우 c1과 c2가 0 이기때문에 원하는 꼴을 표현하실수없습니다.

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