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안녕하세요 항상 좋은 강의 정말 감사드립니다!
다른 분들의 질문에 답해주신 것과 수업 자료의 자막이 상충되는 것이 있는 것에 대한 질문과,
증명과정에 있어서 이해가 가지 않는 것에 대한 질문이 있습니다.
①
우선 {v1, ... ,vr}이 linearly dependent한 set이라고 가정한 뒤,
Chapter 1의 Theorem 7에 의해 벡터 set에서의 인덱스 p를 잡고 c1v1 + ... + cp-1vp-1 = vp가 성립함을 보이며
"v1부터 vp-1까지 linearly independent한 벡터들로 골라준 것"
이라고 설명해주셨고, 게시판에 올라온 다른 질문들의 답변에도 동일한 설명을 해주셨는데 자막으로는
"dependent입니다. 말실수입니다."라고 하셔서 뭐가 맞는 건지 헷갈립니다. (동일한 상황의 자막이 22:06에도 등장합니다)
자막은 무시하고 그냥 원래 설명대로 {v1, .. ,vp-1}은 linearly independent한 set으로 이해하면 되는 건가요??
②
두번째 질문은, 마지막 증명과정에서
c1(λ1-λp)v1 + ... + cp-1(λp-1-λp)vp-1 = 0 가
"trivial solution만을 가지기 때문에 {v1 ... vr} 이 linearly dependent하다는 가정이 위배되므로
{v1 ... vr} 이 linearly independent하다"
라고 설명해주셨는데, vp-1는 벡터 set {v1, ..., vr} 에서 인덱스로 잡은 값인데, 벡터셋의 일부 벡터들이 linearly independent하다고 전체 벡터셋이 linearly dependent하지 않다고 할 수는 없지 않나요??
즉, {v1, ... vp-1, vp, ... vr}이 linearly dependent하다고 한 것이 첫번째 가정인데, {v1, ..,vp-1}이 linearly independent하다고 해서 {v1, ... ,vr}이 linearly dependent하다는 가정이 틀렸다고 할 수는 없지 않나요??
그리고 첫번째 질문에 보시면 애초에 {v1, ... vp-1}을 linearly independent한 벡터들로 잡은 것 아닌가요??
매번 질문에 친절하게 답변해주셔서 정말 감사드립니다!
답변 1
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우선 자세한 답변 감사드립니다!
그런데 아직 확실치 않은 부분이 있어 하나만 더 질문드려도 괜찮을까요?
theorem 7에 의해서 [c1, ..., cp-1]은 nonzero vector라 하셨는데, 이 부분이 아무리 생각해도 도저히 이해가 잘 가지 않습니다ㅠㅠ
theorem 7을 증명했던 chaper 1을 다시 복습했는데도
vp = (-c1/cp)v1 + ... + (-cp-1/cp)vj-1
에서 cp가 nonzero가 되어야한다고 하였지, [c1 ... cp-1]이 nonzero여야 얘기는 없었어서요..
vp가 zero vector면 안된다는 조건도 없었고요..
오히려 vp가 zero vector가 되면 {v1 , ... vr}이 zero vector을 포함하게 되어 linearly dependent하게 되는 것 아닌가요..?
[c1 ... cp-1]이 zero vector가 되어, zero vector인 vp를 v1 ~ vp-1의 linear combination으로 표현하면 안되는건가요??
답변 주신 내용 천천히 고민해보며 최대한 혼자 해결해보려했는데 도저히 모르겠어서 질문드립니다ㅠ
안녕하세요.
제가 좀 설명을 이상하게 하였네요.
다시 설명드리고 본래의 댓글은 지우도록 할게요.
일단 {v1, ..., vr} 이 linearly dependent하다고 가정하면
c1*v1 + ... cp-1*vp-1 = vp 라는 식을 만족하게 되는 index p가 존재하게 됩니다.(theorem 7에 의해)
*(이때 v1부터 vp-1까지 independent)
그런데 마지막 식을 살펴보면 eigenvalue들의 차이는 0이 아니고, {v1, ... ,vp-1}은 independent set이므로, c1부터 cp-1이 모두 0이 되어야합니다.
본래의 식으로 돌아가봅시다.
c1*v1 + ... cp-1*vp-1 = vp <- 여기서 c1부터 cp-1이 모두 0이므로 vp = 0 이 됩니다.
하지만 vp는 eigenvector이므로 nonzero vector이고 이는 모순이 되는겁니다.
즉 {v1, ... vr} 이 linearly dependnet하다라는 가정이 불가능하므로
{v1, ..., vr}은 linearly independent해야합니다.
처음 잘못 설명드린 댓글로 좀 헷갈리셨을것같아서 죄송합니다.
감사합니다.