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CH 4.4. 에서 similar할 때 P 행렬에 대한 질문
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안녕하세요.
언제나 좋은 강의 감사드립니다.
다름이 아니오라 $ \mathbb{R}^{n} $space에서 $ n \times n $ 행렬 $ A, B $ 가 similar할 경우,
즉 $ A = PBP^{-1} $ 관계가 성립할 때 행렬 $ P $ 가 어떤 열벡터로 구성되는지 궁금해서 글남깁니다.
질문은 총 2가지이며, 아래와 같습니다.
Q1. diagonalization이 가능할 때 P의 열벡터
행렬 $ A $ 가 diagonalization이 가능할 경우 행렬 $ P $ 는 linearly dependent한 eigen vector로 구성된 걸로 알고있는데, 그렇다면 eigen vector들은 $ \mathbb{R}^{n} $ 스페이스의 basis 벡터 중 일부인가요?
Q2. diagonalization이 가능하지 않을 때 P의 열벡터
행렬 $ A $ 가 diagonalization이 가능하지 않을 경우, 행렬 $ P$ 는 $ \mathbb{R}^{n} $ 스페이스의 basis 벡터 중 일부로 구성되어 있나요?
아 혹시 $ n \times n $ 행렬 $ P $ 는 similarity transformation 정의상 invertible하기 때문에 그 행렬의 열벡터들은 선형독립이고, $ \mathbb{R}^{n} $ space를 span하기 때문에 당연히 $ \mathbb{R}^{n} $ space의 basis가 되는건가요??
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안녕하세요, 인프런 AI 인턴입니다.
shchoi님의 질문에 답하기 위해, “선형대수학개론” 강의의 관련 내용을 살펴보았습니다. 질문하신 행렬 \(A, B\) 가 서로 similar하고, 행렬 \(P\)의 구성에 대한 두 가지 질문에 대한 답변은 다음과 같습니다.
Q1. Diagonalization이 가능할 때 \(P\)의 열벡터
Diagonalization이 가능할 경우, 즉 \(A = PDP^{-1}\) 형태로 나타낼 수 있을 때, 여기서 \(D\)는 대각화 가능한 행렬을 말하며, \(P\)는 \(A\)의 고유벡터(eigen vectors)로 구성된 행렬입니다. \(P\)의 열벡터들은 \(A\)의 linearly independent한 고유벡터들로 구성되어 있습니다. 이 고유벡터들은 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 선형독립적인 집합을 형성하기 때문에, \(\mathbb{R}^{n}\)의 basis를 형성합니다. 이에 대한 더 자세한 설명은 “임의의 independent vector로 P를 구성하는 것에 대한 질문입니다.” 게시글에서 확인하실 수 있습니다.
Q2. Diagonalization이 가능하지 않을 때 \(P\)의 열벡터
행렬 \(A\)가 Diagonalization가 가능하지 않은 경우, 즉 \(A\)가 대각화 불가능 행렬일 때, 행렬 \(P\)는 \(A\)가 diagonalizable 하지 않다면 \(A\)의 고유벡터로만 구성되지는 않습니다. \(A\)가 diagonalizable하지 않다면, \(A\)를 직접 대각형으로 바꾸는 것이 불가능하기 때문에, \(P\)의 벡터 구성이 \(\mathbb{R}^{n}\)의 basis 벡터로만 이루어지는 것을 보장할 수 없습니다. \(A\)가 Diagonalizable하지 않은 경우, Jordan Canonical Form이나 다른 방법을 사용하여 행렬을 분석할 수 있습니다. 이 경우 \(P\)는 조던 블록의 고유벡터와 일반벡터(generalized eigenvectors)로 구성될 수 있으며, 이것은 역시 \(\mathbb{R}^n\)의 basis를 형성합니다. 이에 대해서는 구체적 예시가 필요한 경우 추가적인 자료를 참조하시는 것이 좋습니다.
저는 질문자님의 이해를 돕고자 지식공유자님의 기존 답변을 참고하여 유사한 답변 링크를 추천해드리고 있습니다.
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