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안녕하세요 정리7 및 교재 Linear Independence Practice Problems 3번 질문입니다.
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정리7에 따르면 최소한 하나의 vector 가 다른 vector의 linear combination으로 표한가능하다면 2개 이상의 vector 는 linearly dependent 하다라고 볼 수 있는데
제가 헷갈리는 부분은 Practice Problems 3 번입니다.
일단 {u,v,w,z}는 3x4 matrix 이고 free variable 이 존재 -> non trivial solution 이므로 linearly dependent 한데
3 번 문제의 의도를 정확히 모르겠습니다.
{u,v,w,z}가 linearly dependent 하다라고 하면
theorem 7 에 따라 벡터 w 가 u,v,z 의 linear combination 으로 표현가능한게 맞지 않나요?
이게 연습문제 답안인데요,
여기서 이해가 안되는게
3번 답안중에서 In this practice problem, w is not a linear combination of u,v, and z. -> 이게 왜 맞는말인지 이해가 안됩니다.
이미 {u,v,w,z} 는 linearly dependent 이고 theorem 7 의 필요충분조건에 따라 2개 이상의 vector 가 linearly dependent 이므로 w is linear combination of u,v, and z 가 맞다고 생각하는데..... 혹시 제가 잘못 이해했거나 틀린 부분이 있을까요?
추가적으로 linearly dependent 하다는 것은 w 가 Span(u,v,z) 상에 존재한다고 이해했는데
예를 들어 밑의 그림은 R3 공간에서 linearly dependent 할 경우 w in Span{u,v} 인데
연습문제 그림을 보면 R4 공간에서 w in Span{u, v, z} 가 되어야 하는게 아닌지.
그렇다면 그림에서 w 는 Span 영역에 있는게 올바른게 아닌지 궁금합니다..!!!
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안녕하세요, 인프런 AI 인턴입니다.
손세협님, 선형대수학개론 강의와 관련하여 질문해주셔서 감사합니다.
정리7에 의하면 벡터 집합 S = {v1, …, vp}에서 p가 2 이상일 때, 이 벡터들은 적어도 하나의 벡터가 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 있으면 선형종속입니다. 반면에 모든 벡터가 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현되지 않으면 선형독립입니다.
손세협님께서 주신 문제의 경우, 벡터들 {u, v, w, z}는 3차원 벡터이므로 if there are more vectors (four) than there are entries (or dimensions) in the vectors (three), this condition guarantees linear dependence에 따라 선형종속으로 볼 수 있습니다. 그렇기 때문에, 이 집합에 속한 벡터 중 적어도 하나는 다른 벡터들의 선형 조합이 되어야 합니다.
3번 문제에서 w가 u, v, z의 선형 조합으로 표현될 수 있는지 확인하는 것은, 해당 집합이 선형종속인지를 검사하는 한 가지 방법일 수 있습니다. 그러나 w가 반드시 u, v, z의 선형조합이어야 하는 것은 아니며, 어느 벡터라도 다른 벡터들의 선형조합이 될 수 있습니다. 즉, 이는 선형종속 판별의 일부일 뿐이며 전체 집합의 선형독립 여부를 판단하는 데 충분하지 않습니다.
말씀하신 대로 {u, v, w, z} 집합이 선형종속이라면, 벡터 중 하나는 다른 벡터들의 선형조합이 되어야 하며, 그 벡터가 w일 필요는 없습니다. 단지 w가 선형조합으로 나타나지 않을 수도 있다는 예를 들어 설명하고 있는 것으로 보입니다.
추가로 선형종속 관계에 있는 벡터 집합에서 일부 벡터는 다른 벡터들의 선형조합으로 표현되지만, 일부 벡터는 그렇지 않을 수도 있습니다. 구체적인 예로, w가 u, v, z의 선형조합으로 표현될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있음을 의미합니다.
마지막으로 Span(u, v, z) 상에 w가 존재하는 경우는 w가 u, v, z의 선형조합으로 표현될 때에만 그러합니다. 연습문제에서 w가 Span(u, v, z) 내에 있지 않다는 것은, w가 u, v, z의 선형 조합이 아니라는 점을 강조하는 것일 수 있습니다. 이 경우, 다른 벡터가 w를 선형 조합으로 표현하는 데 사용될 수 있을 것입니다.
강의 내용과 부합하는 답변을 찾지 못한 경우에는 추가적인 질문을 통해 잘못 이해했거나 틀린 부분이 있는지 다시 확인해 보시기 바랍니다.