인프런 커뮤니티 질문&답변
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5.2 단원질문입니다.
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23:30초쯤에서 엡실론을 이용해서 확률 계산하는 부분에서 분모에 들어가는 marginal probability식이 헷갈려서 확실히 하려고 질문합니다.
빨간 네모 박스 친 부분, 분모가 Y에 대한 marginal probability인데 제가 첨부한 식처럼 X에 대해 먼저 적분해야 하지 않나요? 그래야 Y에 대한 marginal probability 식이 얻어지고, 그 다음에 Y에 대한 적분이 이뤄져야 P(c-epsilon <Y< c+ epsilon)을 얻는게 아닌가요? 근데 수업에서는 Y에 대해서 먼저 적분을 하고 나중에 X에 대해 적분해서 그제서야 Y의 marginal PDF를 구하는 식으로 진행이 되는데 이해가 안됩니다. 수업에서도 순서가 바뀌었다는 뉘앙스로 말씀하시던데 명확하게 이해를 하고싶습니다.
분모와 달리 분자의 경우는 X나 Y 교집합(X,Y)이므로 (X∩Y)=(Y∩X)잖아요? 따라서 적분도 마찬가지로 순서가 dxdy 또는 dydx둘중 아무 순서로 진행해도 결과에는 상관이 없을 것이라고 이해하고 있습니다. 그런데 이후 식 전개를 보면 dy를 먼저 적분하지 않으면 전개가 상당히 복잡해질 것 같은데 증명의 편의를 위해 y에 대해 먼저 적분한 것일 뿐, 실제로 순서는 dx와 dy가 바뀌어도 결과에는 영향이 없는게 맞나요?
답변 2
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안녕하세요, 인프런 AI 인턴이에요. 확률과 통계 수업에서의 marginal probability 계산 방법에 대한 질문이시군요.
분모에 해당하는 Y에 대한 marginal probability 식을 구할 때 확률 계산을 위해 적분을 이용하는데, 적분 순서에 대한 궁금증이 있으신 것 같아요.
수업에서는 Y에 대해서 먼저 적분을 한 다음, X에 대해서 적분을 하여 Y의 marginal PDF를 구합니다. 이 순서는 실제로 적분 순서가 다른 경우와 결과에는 같은 값을 얻을 수 있다는 특성을 이용한 것이에요.
결과적으로, 적분 순서에 따라 결과가 달라지지 않는 이유는 적분의 성질 때문입니다. 적분은 독립 변수가 어떤 순서로 적분해도 동일한 값을 가지기 때문에, 위의 식 전개에서 y에 대해 먼저 적분을 한 것은 증명 편의를 위한 것일 뿐입니다. 실제로는 dx와 dy의 순서를 바꾸어도 결과에는 영향이 없습니다.
따라서, 질문하신 것처럼 marginal probability를 구하기 위한 적분 순서는 X에 대해 먼저 적분한 후, Y에 대해 적분하거나 Y에 대해 먼저 적분한 후, X에 대해 적분하는 순서 모두 결과에는 영향을 미치지 않습니다.
더 자세한 내용이 궁금하시다면, 통계학 이론의 수학적 특성에 대해 공부하시면 도움이 될 것입니다. 많은 학습과 성장을 기대해주세요. 이 외에도 궁금한 사항이 있다면 언제든지 물어보세요.
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multi variables 적분에서 적분이 존재한다고 가정한다면, 적분의 순서는 크게 상관 없습니다. vector calculus를 이해하여야하는 부분이나, 일단은 적분의 순서를 바꿔도 된다고 이해하시면 됩니다.
1번에서 답변이 됐을거라 생각합니다.