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ONTO와 One to One 질문
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안녕하세요 선생님, 질문들이 조금 많아 정리해서 여쭙고 싶습니다.
One to One은 수학에서의 '일대일 함수'와 같은 개념으로 이해했슨데,
ONTO의 경우 수학에서의 '일대일 대응'과는 다른 의미인가요?
One to One은 서로 다른 x에 대해 무조건 서로 다른 image가 대응되어야 한다고 알고 있습니다.
다만 ONTO는 단지 codomain과 range가 (공역 = 치역) 같아야 한다고 알고 있는데,
혹시 ONTO도 '일대일대응'과 같이 '공역 = 치역' 이라는 조건과 동시에 '일대일 함수'의 조건 또한 만족해야 하나요? 아니면 단지 공역 = 치역 이기만 하면 되는건가요?
ONTO와 One to One을 구별하는 방법 중에
ONTO의 경우 각 Row 마다 pivot이 존재해야 하므로: 행 개수 < 열 개수인 가로로 긴 행렬
One to One의 경우 각 Column마다 pivot이 존재해야 하므로: 행 개수 > 열 개수인 세로로 긴 행렬
라는 것을 교재에 수록된 문제 솔루션에서 봤습니다. 이렇게 이해해도 되는건가요?
만약 된다면, Row마다 pivot / Column마다 pivot이 존재해야 한다는 뜻을 정확히 모르겠습니다. 이를 어떻게 다른 조건과 동치로 해석해야 하나요?
그리고 맞을 경우에, 행 개수 = 열 개수인 정사각행렬은 ONTO인지 One to One인지 어떻게 판단하나요?
ONTO를 판단하는데 있어서, Columns of A가 R^{m} space를 span하는 것이 필충조건이라고 배웠습니다. 그런데 Theroem 4 - (d)에서 A가 각 Row 마다 pivot position이 존재하는 것과 동치라고 알고있습니다.
이는 [0 0 0 ... 0 b]와 같은 행이 존재하지 않는다는 의미인데요, T와 같은 standard matrix의 경우 coefficient matrix이기 때문에 [0 0 0 ... 0 b] 가 아니라 [0 0 0 ... 0 ]의 형태로 b가 빠지는 것으로 알고 있습니다.
그렇기 때문에 저는 이를 영행 으로 판단하고 ONTO의 필요충분 조건은 '영행이 없기만 하면 된다'라고 판단했는데 혹 이렇게 판별해도 문제가 있을까요?
선생님, 강의가 공부하는데 정말 큰 힘이 되고 있습니다. 긴 질문글 다 읽어주셔서 정말 감사합니다! 날씨도 더운데 고생 많으십니다 ㅜㅜ
답변 2
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onto와 One to One을 구별하는 방법은 해를 구해본다거나 pivot의 위치들을 살펴본다거나 하는 형태로 구분하여야합니다.
단순히 행렬의 모양만으로는 알 수가 없고, echelon form으로 표현하여, 해가 어떻게 표현되는지 알아야합니다. (물론 행렬의 모양만으로 판별되는 경우도 있습니다. 예를들어, column의 갯수가 이 row의 갯수보다 적다면 onto는 불가능합니다.)
그리고나서 정리 12번등과 같은 정리등으로 판단해야 합니다.
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안녕하세요, 인프런 AI 인턴이에요. One to One과 ONTO에 대한 질문이 꽤 많으시네요.
One to One은 수학에서의 ‘일대일 함수’와 같은 개념으로 이해하셨는데, 맞는 이해입니다. One to One 함수는 각각의 서로 다른 x 값에 대해 서로 다른 이미지가 대응되어야 합니다.
ONTO의 경우에는 수학에서의 ‘일대일 대응’과는 다른 의미입니다. ONTO 함수는 공역과 치역이 같으면 됩니다. 즉, 모든 공역값이 치역값에 대응되어야 합니다. 일대일 대응의 조건은 만족시키지 않아도 됩니다.
ONTO가 One to One 함수의 조건을 만족해야 하는지에 대한 질문도 있는데, ONTO 함수는 One to One 함수의 조건을 만족시키지 않아도 됩니다. ONTO 함수에서는 이미지가 중복될 수 있지만, 모든 공역값이 치역값에 대응되는 것이 중요합니다.
또한, ONTO와 One to One을 구별하는 방법 중 하나로는 행렬에서의 pivot 사용을 언급하는데, 맞는 내용입니다. 행렬에서 행 개수가 열 개수보다 적으면 가로로 긴 행렬이되고, 이때는 각 row마다 pivot이 존재해야 합니다. 반대로, 행 개수가 열 개수보다 많으면 세로로 긴 행렬이 되는데, 이때는 각 column마다 pivot이 존재해야 합니다. 이렇게 이해하신다면 교재에 수록된 문제 솔루션을 이해하시는 데 도움이 될 것입니다.
마지막으로, 행 개수가 열 개수와 같은 정사각행렬은 ONTO인지 One to One인지에 대한 질문도 있었는데, 정사각행렬이 ONTO이거나 One to One이 되려면 추가적인 조건이 필요합니다. 행렬의 크기에 대한 정보만으로는 단정하기 어렵기 때문에, 행렬의 내부 구조나 성질에 대한 정보를 더 알아야 정확한 판단이 가능합니다.
더 궁금한 사항이 있으시면 언제든지 물어보세요. 도움이 될 수 있도록 최선을 다하겠습니다.